六年级数学 · 知识笔记上海新教材
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小初衔接 · 第二章 分数

2.13 分数裂项之裂差

把一个分数拆成两个分数的差，利用相邻项抵消。

知识提要

  • 常见形式：1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)。
  • 展开后检查首尾留下哪些项。

本节错题 · 3 道

连续自然数和的倒数求和★★★
计算 11+2+11+2+3+11+2+3+4+⋯+11+2+⋯+100\frac1{1+2}+\frac1{1+2+3}+\frac1{1+2+3+4}+\cdots+\frac1{1+2+\cdots+100}。
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99101\frac{99}{101}。从 k=2k=2 到 100100，11+⋯+k=2k(k+1)=2(1k−1k+1)\frac1{1+\cdots+k}=\frac2{k(k+1)}=2(\frac1k-\frac1{k+1})。
单位分数裂差求和★★☆
观察 1n(n+1)=1n−1n+1\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}，计算 11×2+12×3+⋯+149×50\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\cdots+\frac1{49\times50}；再尝试用裂差法计算 34+34×7+37×10+310×13\frac34+\frac3{4\times7}+\frac3{7\times10}+\frac3{10\times13}。
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第一式为 4950\frac{49}{50}；第二式为 1213\frac{12}{13}。后一式可把 3n(n+3)\frac3{n(n+3)} 写成 1n−1n+3\frac1n-\frac1{n+3}。
由 1/2+1/4+1/8 推广裂项★★☆
计算 112+214+318+4116+5132+6164+711281\frac12+2\frac14+3\frac18+4\frac1{16}+5\frac1{32}+6\frac1{64}+7\frac1{128}。
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2812712828\frac{127}{128}。整数部分和为 2828，分数部分为 12+14+⋯+1128=127128\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{128}=\frac{127}{128}。

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2.13 分数裂项之裂差手绘原图
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