六年级数学 · 知识笔记上海新教材
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小初衔接 · 第一章 数的整除

1.12 最大公因数与最小公倍数

用素因数分解或短除法，求两个数的最大公因数和最小公倍数。

知识提要

  • 公有素因数的较小指数决定最大公因数。
  • 全部素因数的较大指数决定最小公倍数。

本节错题 · 11 道

素因数形式求最小公倍数★☆☆
A=2×3×7A=2\times3\times7，B=2×2×5×7B=2\times2\times5\times7，求 A,BA,B 的最小公倍数。
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420=22×3×5×7420=2^2\times3\times5\times7。
三次借书的余数条件★★★
某班借 4040 本书，平均分给每人还差 22 本；借 6565 本则多 22 本；借 8383 本还差 11 本。这个班最多多少人？
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最多 2121 人。人数必须同时整除 42,63,8442,63,84，三者的最大公因数为 2121。
玻璃裁最大正方形★★☆
一块长 192 cm192\,\mathrm{cm}、宽 112 cm112\,\mathrm{cm} 的玻璃，裁成边长为整数厘米且尽可能大的正方形，不能剩余。边长与块数分别是多少？
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正方形边长 16 cm16\,\mathrm{cm}，可裁 8484 块；gcd⁡(192,112)=16\gcd(192,112)=16，块数为 12×712\times7。
十个自然数的最大公约数★★★
1010 个自然数之和为 10011001，求这 1010 个数的最大公约数。原题没有说明是否允许 00，讨论时须注明约定。
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按“自然数含 00”的教材约定，最大公约数可为 10011001：取一个 10011001、其余九个为 00。若额外规定十个数都为正数，最大值为 9191。
六组数求最大公因数★☆☆
分别求下列各组数的最大公因数：(8,9),(9,18),(17,51),(7,13),(27,9),(14,15)(8,9),(9,18),(17,51),(7,13),(27,9),(14,15)。
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按题面六组的顺序，最大公因数依次为 1,9,17,1,9,11,9,17,1,9,1。
和为 60 且最大公因数为 15★★☆
两个数的和是 6060，最大公因数是 1515。求这两个数。
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1515 和 4545。写成 15m,15n15m,15n，则 m+n=4m+n=4 且 m,nm,n 互素。
互素合数的最小公倍数为 60★★★
两个合数互素，最小公倍数为 6060。符合条件的数对有几对？选项
  1. A11 对
  2. B22 对
  3. C33 对
  4. D44 对。
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选 A（11 对）：44 与 1515。两数互素时积为 6060。
彩旗由每 4 米改为每 6 米★★☆
120 m120\,\mathrm m 的运动场，从一端到另一端每隔 4 m4\,\mathrm m 插一面旗。改成每隔 6 m6\,\mathrm m 插一面，多少面旗可留在原处？
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1111 面。位置须同时是 44 和 66 的倍数，即每隔 12 m12\,\mathrm m 一处；计入 00 与 120 m120\,\mathrm m 两端。
橘子按 7、5、3 个分组的余数★★★
一筐橘子，按 77 个一数多 44 个，按 55 个一数少 33 个，按 33 个一数正好数完。至少有多少个？
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至少 102102 个。102≡4(mod7)102\equiv4\pmod7，102≡2(mod5)102\equiv2\pmod5，且能被 33 整除。
三种茶叶同价分袋★★★
一级茶叶 144 g144\,\mathrm g、二级 180 g180\,\mathrm g、三级 240 g240\,\mathrm g 的价格都为 6060 元。把三种茶叶分别按整数克装袋，各袋价格相同，求每袋价格的最小值。
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每袋最低 55 元。每种茶叶可各分成 1212 袋，袋重分别为 12,15,20 g12,15,20\,\mathrm g；12=gcd⁡(144,180,240)12=\gcd(144,180,240)。
两段街道等距装灯★★☆
街道由 AB=840 mAB=840\,\mathrm m、BC=720 mBC=720\,\mathrm m 两段组成，沿同一侧等距离装路灯，两段端点及转弯处都要装，间隔为整数米。最少装多少盏？
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最少 1414 盏。最大间距为 gcd⁡(840,720)=120 m\gcd(840,720)=120\,\mathrm m，共 840+720120+1=14\frac{840+720}{120}+1=14 处。

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1.12 最大公因数与最小公倍数手绘原图
来源：《六年级数学手绘知识笔记（上海新教材）》扫描 PDF。文字是按原页整理的知识提要；例题和手写推导请查看原图。