1.1 整除的定义与性质

知识提要

• 整除的商必须是整数，余数为 0。
• 若同一个数整除两个整数，也整除它们的和与差。

整除的定义

整数 a 除以整数 b，商为整数且余数为 0，记作 b∣a。可以说“b 能整除 a”或“a 能被 b 整除”。

研究范围：正整数。

整除与除尽

整除：整数 a ÷ 整数 b = 整数 c，例如 6 ÷ 2 = 3。

除尽：a ÷ b 的商是整数或有限小数。例如 6 ÷ 2 = 3，0.6 ÷ 2 = 0.3，6 ÷ 0.2 = 30，6 ÷ 20 = 0.3。

整除的性质

• 传递：m∣a，a∣b ⇒ m∣b；m∣a ⇒ m∣ka。
• 组合：m∣a，m∣b ⇒ m∣(a ± b)。
• 拆分：m∣a，n∣a，且 m、n 互素 ⇒ mn∣a。

原页例子：2∣6 且 6∣12 ⇒ 2∣12；3∣18 且 3∣12 ⇒ 3∣(18 ± 12)。